Au programme aujourd'hui

Quiz 5 (10 min, papier, sans écran) sur la séance 5 et le devoir D5, puis correction flash.

Projet (2 h) : le problème à n corps — NumPy + matplotlib,
tout le cours dans un seul notebook, en binômes.

Rendu : poussé à 16 h 25, avant la clôture. C'est le dernier rendu du cours ; il compte comme un devoir.

Clôture (20 min) : une course, le bilan des six séances, et la suite.

Pas de cours nouveau aujourd'hui : tout ce qu'il faut est dans le notebook (énoncé, indices, tests).

Les règles du jour

• Quiz : 10 minutes, cahiers fermés, écrans éteints. On rend sa copie même blanche, avec son nom.
• Projet : binômes autorisés — un rendu par personne (le même fichier, les deux noms dans la première cellule).
• Documentation, notebooks du cours, vos devoirs : autorisés.
• IA : tolérée pour comprendre ; vous devez pouvoir expliquer chaque ligne rendue.
• Une seule boucle for autorisée : celle sur le temps, dans simulate.
  Pas de boucle sur les corps dans forces — c'est tout l'objet du projet.

Ce que vous allez coder aujourd'hui

À gauche, init3(), votre cas de test. À droite, le « huit » à trois corps (Chenciner & Montgomery, 2000).
Tout part de la même fonction forces : quelques lignes de NumPy, sans boucle sur les corps.

Le problème

Des corps massifs s'attirent par gravitation ; nous voulons calculer et tracer leurs trajectoires.
Le monde est en 2D ; chaque corps a une masse, une position, une vitesse.

Pour N corps, trois tableaux :

Une configuration de test init3() est fournie : un "soleil" lourd au centre, deux satellites symétriques.
Toutes les cellules de test s'appuient dessus.

Quatre fonctions — partie A (≈ 1 h 30)

1. init_problem(N) — tire N corps au hasard → (masses, positions, speeds).
2. Échauffement : les différences deux à deux r_j − r_i, sans boucle (1D, puis 2D).
3. forces(masses, positions, G=1.0) — la force sur chaque corps, vectorisée, forme (2, N).
4. simulate(masses, positions, speeds, dt=0.1, nb_steps=100) — Euler pas à pas → (nb_steps, 2, N).
5. draw(traj, masses) — une trajectoire par corps → trajectoires.png.

Chaque étape a ses indices (dépliables) et ses tests (assert) : si la cellule de test passe, c'est bon.

Partie B (énergie, meilleur intégrateur, %timeit) : bonus pour ceux qui ont fini.

L'idée clé : le broadcasting de la séance 2

Il nous faut tous les vecteurs r_j − r_i, pour tous les couples (i, j). Avec des positions
(2, N), deux None bien placés suffisent — sans la moindre boucle !

positions = np.array([[0.0, 5.0, -5.0],     # x
                      [0.0, 0.0,  0.0]])    # y          → shape (2, 3)
Delta = positions[:, None, :] - positions[:, :, None]
Delta.shape             # (2, 3, 3)  : Delta[:, i, j] = positions[:, j] - positions[:, i]
dist = np.linalg.norm(Delta, axis=0)     # (3, 3) : la norme CONSOMME l'axe 0 (x, y)

• (2, 1, N) contre (2, N, 1) → (2, N, N) : la règle « aligner par la droite » ;
• la diagonale de dist est nulle : un corps ne s'attire pas lui-même — et on ne divise pas par 0
  (np.fill_diagonal(dist, np.inf)).

Rendu et barème

Rendu : le notebook exécuté de bout en bout (Restart Kernel and Run All Cells),

• trajectoires.png — dans le dossier D6/ de votre dépôt pe-homework,
  commité et poussé à 16 h 25, avant la clôture.

Un notebook incomplet mais qui s'exécute vaut toujours mieux qu'un notebook non rendu :
à 16 h 15, on arrête, on commente ce qui plante, on rend.

C'est parti

1. Téléchargez D6-n-corps.zip sur https://pe.mines.prasquier.dev, dézippez-le à la racine de votre dépôt pe-homework :
   vous obtenez un dossier D6/ prêt à l'emploi.
2. Ouvrez Jupyter dans le dossier D6/ (sinon data/ est introuvable), ouvrez sujet.ipynb.
3. Exécutez les trois premières cellules : imports, init3(), constantes.
4. Partie A, dans l'ordre. Lisez les indices avant de demander de l'aide.

Bon courage !

Et après ?

Votre avis (5 min, anonyme)

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